通過今天的學習，我受益匪淺。不僅僅是做出了一道道難題，更深刻地掌握了做有關數的運算題的解法以及如何思考。其中，我為最有認探討價值和理解意義的是一道國外競賽題。這道題需要用超級清晰的分析思路和對數豐富的認識。比如說，一個算式，如何轉變成一個公式。這道題就需要先轉變成一個公式，在進行套數，分析，理解。

這道題是這樣的：7的五次方減去7，11的五次方減去11，凡是大等于7的質數的五次幕減去它本身，這無窮多個數的最大公約數是多少呢？我們的做法是先求出N的五次方減去n等于一個公式。這個公式是：n*(n+1)(n-1)(n的平方+1)。有同學會認為這太簡單了。其實不然，推出來這個公式，對解出這道題非常有必要。劉濤老師用分析推理的方式，相機給我們證明了這無窮多個數的公約數包含了5、3、16。其一，n的五次方減去n的余數如果是5的倍數有五種情況，分別是余0、余1、余2、余3、余4。

余0時，自然數n就是5的倍數，那么這個式子就是5的倍數。余1時，公式里的（n-1）就是5的倍數，則這個式子就是5的倍數。余2時，公式里的（n平方+1）就是5的倍數，那么這個式子就是5的倍數。余3時，也是（n平方+1）就是5的倍數，毫不質疑，如果這樣，那么這個式子就是5的倍數。余4時，（n+1）就是5的倍數，這個式子也就是5的倍數。

這是5的倍數的方式證明法，我認為非常有實用性，對靈活運用我們的大腦來解決這樣的難題的一種思考的一種幫助。我們還證明了這些數都是16、3的倍數，然后把這三個數——16*3*5=240，這就是這無窮多個數的最大公約數。這道題非常有探討與研究的價值，聽完劉濤老師的講解后，回到家，我有仔細地把這道題想了想，理順了思路，并且整理了有用的筆記。我相信，學會了這些題的解題方法以及思路，做起這樣的題就會得心應手了。